精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设a是实数,f(x)=a-
22x+1
(x∈R)

(1)试证明:对于任意a,f(x)在R为增函数;
(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.
分析:(1)设x1、x2∈R且x1<x2,用作差法,有f(x1)-f(x2)=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
,结合指数函数的单调性分析可得f(x1)-f(x2)<0,可得f(x)的单调性且与a的值无关;
(2)根据题意,假设f(x)是奇函数,由奇函数的定义可得,f(-x)=-f(x),即a-
2
2-x+1
=-(a-
2
2x+1
),对其变形,解可得a的值,即可得答案.
解答:解:(1)证明:设x1、x2∈R且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(a-
1
2x1+1
)-(a-
1
2x2+1
)=
1
2x2+1
-
1
2x1+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

又由y=2x在R上为增函数,则2x1>0,2x2>0,
由x1<x2,可得2x1-2x2<0,
则f(x1)-f(x2)<0,
故f(x)为增函数,与a的值无关,
2
20+1

即对于任意a,f(x)在R为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,且其定义域为R,
必有有f(-x)=-f(x),
即a-
2
2-x+1
=-(a-
2
2x+1
),变形可得2a=
2(2x+1)
2x+1
=2,
解可得,a=1,
即当a=1时,f(x)为奇函数.
点评:本题考查函数奇偶性、单调性的判断与应用,注意(1)中要体现f(x)的单调性与a的值无关.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设a是实数,f(x)=a-
22x+1
(x∈R)

(1)当f(x)为奇函数时,求a的值;
(2)证明:对于任意a,f(x)在R上为增函数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设a是实数,f(x)=a-
22x+1
(x∈R)

(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;
(2)试证明:对于任意a,f(x)在R上为单调函数;
(3)若函数f(x)为奇函数,且不等式f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设a是实数,f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)

(1)已知函数f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
是奇函数,求实数a的值.
(2)试证明:对于任意实数a,f(x)在R上为增函数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设a是实数,f(x)=a-
2
2x+1
(x∈R)

(1)当f(x)为奇函数时,求a的值;
(2)证明:对于任意a,f(x)在R上为增函数.

查看答案和解析>>

同步练习册答案