Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+1=5S_n-3，a₁=1，则{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2•{6}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通过a_n+1=5S_n-3与a_n=5S_n-1-3（n≥2）作差可知a_n+1=6a_n（n≥2），进而可知数列{a_n}从第二项开始构成以2为首项、6为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=5S_n-3，
∴a_n=5S_n-1-3（n≥2），
两式相减得：a_n+1=6a_n（n≥2），
又∵a₁=1，
∴a₂=5a₁-3=2a₁不满足上式，
∴数列{a_n}从第二项开始构成以2为首项、6为公比的等比数列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2•{6}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2•{6}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．