Question

关于实数x的不等式|x-

1

2

(a+1)2|≤

1

2

(a-1)2与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次为A与B，求使A⊆B的a的取值范围．

Answer 1

分析：分别解出两个不等式的解集，再根据A⊆B的关系比较端点求出a的取值范围，由于本题中系数含有参数故需要对参数的范围进行讨论再求解不等式．

解答：解：由|x-

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2

(a+1)2|≤

1

2

(a-1)2得-

1

2

(a-1)2≤x-

1

2

(a+1)2≤

1

2

(a-1)2∴A={x|2a≤x≤a²+1}
由x²-3（a+1）x+2（3a+1）=[x-（3a+1）]（x-2）≤0
当3a+1≥2即a≥

1

3

时，得B={x|2≤x≤3a+1}
当3a+1＜2即a＜

1

3

时得B={x|2＞x＞3a+1}
综上，当a≥

1

3

时，A⊆B可得

2≤2a a2+1≤3a+1

解得1≤a≤3
当a＜

1

3

时若A⊆B则3a+1≤2a≤a²+1≤2
解得a=-1
a的范围是{a|1≤a≤3或a=-1}

点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，求解的关键是正确解出两个不等式的解集以及根据两个集合的包含关系正确转化出关于参数的不等式，此类题主要考查转化的思想，本题中有一疑点，即转化出来的不等式的等号能不能取到的问题，转化后注意验证，养成验证的好习惯是保证此类题做对的一个关键．