Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），其导函数f′（x）=x²+2cosx且f（0）=0，则关于实数x的不等式f（x-2）+f（x²-2x）＞0的解集为（　　）

• A．（0，1+

  3

  ）
• B．（2，4）
• C．（-∞，-1）∪（2，+∞）
• D．（2，1+

  3

  ）

Answer 1

分析：由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（x-2）+f（x²-2x）＞0转化成f（x-2）＞f（2x-x²），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．

解答：解：f'（x）=x²+2cosx
知f（x）=

1

3

x³+2sinx+c而f（0）=0，
∴c=0
即：f（x）=

1

3

x³+2sinx
易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f'（x）=x²+2cosx在x∈（0，2）恒大于0
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f（x-2）+f（x²-2x）＞0
f（x-2）＞-f（x²-2x）
即：f（x-2）＞f（2x-x²）
∴

-2＜x-2＜2 -2＜2x-x2＜2 x-2＞2x-x2

解得：x∈（2，1+

3

）
故选D．

点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题．