Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β），则|β-α|的取值范围是________．

Answer 1

[3，+∞）
分析：由于f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；得到x=0是f'（x）=0的根，求出c的值；根据2是f（x）=0的根得到8+4b+d=0，由于在（0，2]上是减函数得到f'（2）≤0求出b≤-3，根据f（x）=0有三根α，2，β；得到
f（x）=（x-α）（x-2）（x-β），得到α+β+2=-b，-2αβ=d；得到|β-α|²=（b-2）²-16，求出其范围．
解答：∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；
∴x=0是f'（x）=0的根，
又∵f'（x）=3x2+2bx+c，
∴f'（0）=0，
∴c=0．
又∵f（x）=0的根为α，2，β，
∴f（2）=0，
∴8+4b+d=0，
又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，
∴b≤-3，
∵f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）
=x³-（α+β+2）•x²-2αβ
∴α+β+2=-b，-2αβ=d；
∴|β-α|²=（α+β）²-4αβ
=（b+2）²+2d
=b²+4b+4-16-8b
=b²-4b-12
=（b-2）²-16
又∵b≤-3，
∴|β-α|≥3，当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4
故答案为：[3，+∞）
点评：本题考查函数在极值处的导数为0，考查函数的单调性与导函数符号的关系；考查方程的根；考查二次函数的值域的求法，属于中档题．