Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）短轴上的两个三等分点与两焦点构成一个正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线l为圆x²+y²=$\frac{90}{19}$的一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的对角线性质可知b=3c，进而根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得；
（2）设出直线方程为x=±$\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{19}}$或y=kx+m，由直线和圆相切的条件：d=r，设出椭圆方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件，化简整理计算可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：（1）依题意可知2c=$\frac{2b}{3}$，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{10}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）设直线方程为x=±$\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{19}}$或y=kx+m，
当x=±$\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{19}}$时，代入椭圆方程可得y=±$\sqrt{9{t}^{2}-\frac{81}{19}}$，
由$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，可得$\frac{90}{19}$-（9t²-$\frac{81}{19}$）=0，解得t=1；
因为直线l：y=kx+m与圆x²+y²=$\frac{90}{19}$相切，
所以$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{90}{19}}$，即m²=$\frac{90}{19}$（1+k²），①
设c=t，则a=$\sqrt{10}$t，b=3t，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{10{t}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9{t}^{2}}$=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{9{x}^{2}+10{y}^{2}=90{t}^{2}}\end{array}\right.$，得（9+10k²）x²+20kmx+10m²-90t²=0．
设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{20km}{9+10{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{10{m}^{2}-90{t}^{2}}{9+10{k}^{2}}$，
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{9{m}^{2}-90{k}^{2}{t}^{2}}{9+10{k}^{2}}$，
由于OA⊥OB，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{10{m}^{2}-90{t}^{2}}{9+10{k}^{2}}$+$\frac{9{m}^{2}-90{k}^{2}{t}^{2}}{9+10{k}^{2}}$=0，
即为19m²=90t²（1+k²），②
由①②解得t=1，则a=$\sqrt{10}$，b=3．
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆相切的条件，属于中档题．