Question

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F₂与抛物线y²=8x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且

|CD|

|ST|

=2

6

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为（2，0），|CD|=8，|ST|=2•

b2

a

，利用

|CD|

|ST|

=2

6

可得：2a²=3b⁴，结合a²=b²+4，即可求得椭圆M的方程；
（2）方法1：设圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为N，利用向量的运算，表示出

PE

•

PF

，从而求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值，用坐标表示出

NP

2，即可求得

PE

•

PF

的最大值；
方法2：设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x₀，y₀），用坐标表示出

PE

•

PF

，利用配方法，即可求得结论；
方法3：分类讨论：直线EF的斜率存在与不垂直，EF的方程与圆的方程联立，用坐标表示出

PE

•

PF

，利用配方法，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为（2，0），|CD|=8，|ST|=2•

b2

a

，
由

|CD|

|ST|

=2

6

可得：2a²=3b⁴，又a²=b²+4，则3b⁴-2b²-8=0，解得：b²=2，a²=4，
所以椭圆M的方程为M：

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）方法1：设圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为N，
则

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1．
从而求

PE

•

PF

的最大值转化为求

NP

2的最大值．…（6分）
因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x₀，y₀），所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．…（8分）
因为点N（0，2），所以

NP

2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12．…（10分）
因为y0∈[-

2

，

2

]，所以当y₀=-1时，

NP

2取得最大值12． 
所以

PE

•

PF

的最大值为11．…（12分）
方法2：设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x₀，y₀），因为E，F的中点坐标为（0，2），所以

x2=-x1 y2=4-y1.

所以

PE

•

PF

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=（x₁-x₀）（-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（4-y₁-y₀）
=

x

2 0

-

x

2 1

+

y

2 0

-

y

2 1

+4y1-4y0=

x

2 0

+

y

2 0

-4y0-(

x

2 1

+

y

2 1

-4y1)．…（6分）
因为点E在圆N上，所以

x

2 1

+(y1-2)2=1，即

x

2 1

+

y

2 1

-4y1=-3．
因为点P在椭圆M上，所以

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，即

x

2 0

=6-3

y

2 0

．…（10分）
所以

PE

•

PF

=-2

y

2 0

-4y0+9=-2(y0+1)2+11．
因为y0∈[-

2

 ， 

2

]，所以当y₀=-1时，(

PE

•

PF

)max=11．…（12分）
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，
由

y=kx+2 x2+(y-2)2=1

，解得x=±

1

k2+1

．…（6分）
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x₀，y₀），所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．
所以

PE

=(

1

k2+1

-x0，

k

k2+1

+2-y0)，

PF

=(-

1

k2+1

-x0，-

k

k2+1

+2-y0)…（8分）
所以

PE

•

PF

=x02-

1

k2+1

+(2-y0)2-

k2

k2+1

=x02+(2-y0)2-1=-2(y0+1)2+11．…（10分）
因为y0∈[-

2

，

2

]，所以当y₀=-1时，

PE

•

PF

取得最大值11．
②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，
由

x=0 x2+(y-2)2=1

，解得y=1或y=3．
不妨设，E（0，3），F（0，1）． 因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x₀，y₀），
所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．所以

PE

=(-x0，3-y0)，

PF

=(-x0，1-y0)．
所以

PE

•

PF

=x02+y02-4y0+3=-2(y0+1)2+11．
因为y0∈[-

2

，

2

]，所以当y₀=-1时，

PE

•

PF

取得最大值11．
综上可知，

PE

•

PF

的最大值为11．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，正确表示

PE

•

PF

是关键．