Question

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A（4，m）在椭圆E上，且

AF2

•

F1F2

=0，点D（2，0）到直线F₁A的距离DH=

18

5

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点P位椭圆E上的任意一点，求

PF1

•

PD

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据题意可得c的值和F₁、F₂的坐标，又因为

AF2

•

F1F2

=0可表示出AF₂、AF₁，再由sin∠AF₁F₂=

DH

DF1

=

AF2

AF1

可得到a，b的关系式，最后根据a²=b²+c²可求出a，b的值，确定椭圆方程．
（2）先设点p的坐标，根据其在椭圆上可得到其横纵坐标的关系（用x表示y），然后表示出向量

PF1

，

PD

后进行数量积运算得到关于x的二次函数，再由x的取值范围可确定

PF1

•

PD

的取值范围．

解答：解：（1）由题意知，c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵sin∠AF₁F₂=

DH

DF1

=

AF2

AF1

，DH=

18

5

，DF₁=6，
又∵

AF2

•

F1F2

=0，
∴AF₂=

b2

a

，AF₁=2a-

b2

a

，
∴

18 5

6

=

b2 a

2a- b2 a

，则a2=

4

3

b2，
由a²=b²+c²，得b2+16=

4

3

b2
∴b²=48，a²=64∴椭圆方程为

x2

64

+

y2

48

=1．

（2）设点P（x，y），则

x2

64

+

y2

48

=1，即y2=48-

3

4

x2
∵

PF1

=(-4-X，-Y)，

PD

=(2-x，-y)
∴

PF1

•

PD

=x2+y2+2x-8=

1

4

x2+2x+40=

1

4

(x+4)2+36
∵-8≤x≤8，∴

PF1

•

PD

的取值范围是[36，72]．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和向量的数量积运算．属基础题．