Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=，n∈N^*，记b_n=．
（I） 求证：数列{b_n}是等比数列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求t的取值范围；
（III）记C_n=，求证：C₁•C₂…C_n＞．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：由a_n+1=，n∈N^*得a_n+1-2=-2=①a_n+1+1=+1=②
①÷②即b_n+1=b_n，且
∴数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴
由a_n≤t•4ⁿ得易得是关于n的减函数，∴，∴（8分）
（Ⅲ）由得
∴C₁•C₂…C_n=（10分）
下面用数学归纳法证明不等式：
若x₁，x₂，…x_n为正数，则（1-x₁）…（1-x_n）＞1-（x₁+x₂+…+x_n）（*）
1°当n=2时，∵x₁，x₂为正数，∴（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂＞1-（x₁+x₂）
2°假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即若x₁，x₂，…，x_k为正数，则
（1-x₁）（1-x₂）…（1-x_k）＞1-（x₁+x₂…+x_k）
那么（1-x₁）（1-x₂）…（1-x_k）（1-x_k+1）＞1-（x₁+x₂…+x_k+x_k+1）
这就是说当n=k+1时不等式成立．（12分）
根据不等式（*）得：C₁•C₂…C_n=
∴C₁•C₂…C_n＞．（14分）
分析：（Ⅰ）由条件先得，再分别表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，两式相除，可得数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列．
（II） 由（Ⅰ）可知，对a_n≤t•4ⁿ分离参数得，从而可解；
（III）由题意可得C₁•C₂…C_n=，欲证此结论，先证明：若x₁，x₂，…x_n为正数，则（1-x₁）…（1-x_n）＞1-（x₁+x₂+…+x_n）成立．
点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查数学归纳法证明不等式，属于中档题．