Question

已知数列{a_n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{a_n} 前n项和为S_n，且满足S₃=a₄，a₃+a₅=2+a₄
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}前2k项和S_2k；
（3）在数列{a_n}中，是否存在连续的三项a_m，a_m+1，a_m+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）在数列{a_n}中，仅存在连续的三项a₁，a₂，a₃，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1．分类讨论a_m=a_2k，a_m=a_2k-1，证明不成立即可．

解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₅=1+2d．
∵S₃=a₄，∴1+2（1+d）=2q，即4+d=2q，
又a₃+a₅=2+a₄，∴1+d+1+2d=2+2q，即3d=2q，解得d=2，q=3．
∴对于k∈N^*，有a_2k-1=1+（k-1）•2=2k-1，
故an=

n，n=2k-1 2•3 n 2 -1，n=2k

，k∈N^*．
（2）S_2k=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）=[1+3+…+（2k-1）]+2（1+3+3²+…+3^k-1）=

(1+2k-1)k

2

+

2(1-3k)

1-3

=k2-1+3k．
（3）在数列{a_n}中，仅存在连续的三项a₁，a₂，a₃，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1，下面说明理由
若a_m=a_2k，则由a_m+a_m+2=2a_m+1，得2×3^k-1+2×3^k=2（2k+1）．
化简得4•3^k-1=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．
若a_m=a_2k-1，则由a_m+a_m+2=2a_m+1，得（2k-1）+（2k+1）=2×2×3^k-1
化简得k=3^k-1，
令Tk=

k

3k-1

（k∈N^*），则Tk+1-Tk=

k+1

3k

-

k

3k-1

=

1-2k

3k

＜0．
因此，1=T₁＞T₂＞T₃＞…，故只有T₁=1，此时K=1，m=2×1-1=1．
综上，在数列{a_n}中，仅存在连续的三项a₁，a₂，a₃，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式等基础知识与基本方法，属于难题．