Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n是二项式（1+2x）²ⁿ（n∈N^* ）展开式中含x奇次幂的系数和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）=，求f（0）+f（）+f（）+…+f（）；
（3）证明：++…+≥（1-）．

Answer 1

【答案】分析：（1）记（1+2x）²ⁿ=a+a₁x+…+a_2nx²ⁿ，利用赋值可分别令x=1得：3²ⁿ=a+a₁+…+a_2n，令x=-1得：1=a-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1），从而可求
（2）由（1）可得，注意到f（n）+f（1-n）=，从而可考虑利用倒序相加求和即可
（3）由=
=，故可以利用裂项求和先求和，然后利用二展开式进行放缩可证
解答：解：（1）记（1+2x）²ⁿ=a+a₁x+…+a_2nx²ⁿ
令x=1得：3²ⁿ=a+a₁+…+a_2n
令x=-1得：1=a-a₁+a₂-a₃+…-a_2n-1+a_2n
两式相减得：3²ⁿ-1=2（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4×9^n-1
当n=1时，a₁=S₁=4，适合上式
∴a_n=4×9^n-1（4分）
（2）
注意到=（6分）
令
则T=
∴
故，即f（0）+f（）+f（）+…+f（）=（8分）
（3）=
= （n≥2）（10分）
∴
=（12分）
∵9ⁿ-1=（8+1）ⁿ-1=C_n¹×8+C_n²×8²+…+C_nⁿ8ⁿ=8（4n²-3n）
从而可得，++…+≥（1-）．（14分）
点评：本题主要考查了利用赋值法求二项展开式的系数，及数列求和中的倒序相加、裂项求和等方法的应用，还要注意放缩法在证明不等式中的应用．