Question

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式； 
（3）数列{a_n}中，是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上，得S_n=2a_n-3n①，则S_n+1=2a_n+1-3（n+1）②，两式相减可得数列递推式，可推得

an+1+3

an+3

=2，从而可得c值；
（2）易求a₁，由（1）可求得a_n+3，从而可得a_n；
（3）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列，由中项公式可得等式，根据条件说明该等式不成立即可；

解答：解：（1）∵点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．
∴S_n=2a_n-3n①，
则S_n+1=2a_n+1-3（n+1）②，
②-①得a_n+1=2a_n+3，
∴

an+1+3

an+3

=2，∴{a_n+3）为等比数列，则c=3．      
（2）∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3．
由（1）知an+3=(a1+3)•2n-1，∴an=3•2n-3，n∈N^*；
（3）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列，
则2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=（3•2^s-3）+（3•2^r-3）．
∴2^p+1=2^s+2^r，即2^p-s+1=1+2^r-s（*）．
∵s、p、r∈N^*，且s＜p＜r，∴2^p-s+1、2^r-s均为偶数，
从而（*）式产生矛盾．
∴这样的三项不存在．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查由数列递推式求数列通项，考查学生解决问题的能力，存在性问题要先假设存在，然后以此出发推理，如有矛盾，则不存在，否则即存在．