Question

2．已知f（x）=a|x-2|，若f（f（x））＜f（x）恒成立，则a的取值范围为a≤-1．

Answer 1

分析 由f（f（x））＜f（x）恒成立，可令x=2，解得a＜0，再由若-1＜a＜0，则可取a=-$\frac{1}{2}$，可令x=6，检验不成立，再由a≤-1，作差比较，分析即可得到所求答案．

解答 解：f（f（x））＜f（x）恒成立，即有f（f（2））＜f（2），
即为f（0）＜0，即有2a＜0，即a＜0，
若-1＜a＜0，则可取a=-$\frac{1}{2}$，即有f（x）=-$\frac{1}{2}$|x-2|，
当x=6时，f（6）=-2，f（f（6））=f（-2）=-2，
即有f（f（6））=f（6），故-1＜a＜0不成立；
若a≤-1，则f（x）=a|x-2|≤-|x-2|，
f（f（x））=f（a|x-2|）=a（2-a|x-2|）=2a-a²|x-2|，
由于a≤-1，则f（f（x））-f（x）=2a-（a²+a）|x-2|＜0恒成立．
故答案为：a≤-1．

点评 本题考查了函数单调性与不等式的关系，以及绝对值函数的性质，注意运用特殊值法，考查推理判断能力．属于难题．