Question

3．已知数列{a_n}满足${a_1}=6，{a_{n+1}}=4-\frac{4}{a_n}（n$为正整数）．
（Ⅰ）求证：数列$\{\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}\}$为等差数列；
（Ⅱ）若${b_n}=\frac{a_n}{{{{（2n+1）}^2}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对a_n+1=4-$\frac{4}{{a}_{n}}$变形，整理可知$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$-$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$=2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过a₁=6及（I）、整理可知${a_n}=\frac{4n+2}{2n-1}$，进而裂项可知b_n=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，并项相加即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：依题意，$\frac{{{a_{n+1}}+2}}{{{a_{n+1}}-2}}-\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}=\frac{{4-\frac{4}{a_n}+2}}{{4-\frac{4}{a_n}-2}}-\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}$
=$\frac{{6-\frac{4}{a_n}}}{{2-\frac{4}{a_n}}}-\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}=\frac{{3{a_n}-2}}{{{a_n}-2}}-\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}=\frac{{2{a_n}-4}}{{{a_n}-2}}=2$，
故数列$\{\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}\}$是公差为2的等差数列；
（Ⅱ）解：∵a₁=6，
∴$\frac{{{a_1}+2}}{{{a_1}-2}}=2$，
由（I）可知$\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}=2+2（n-1）=2n$，
整理得：${a_n}=\frac{4n+2}{2n-1}$，
∴${b_n}=\frac{a_n}{{{{（2n+1）}^2}}}=\frac{4n+2}{{（2n-1）{{（2n+1）}^2}}}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
则${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．