Question

19．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n=3•2²ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=na_n，求数列的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a_n+1-a_n=3•2²ⁿ⁺¹可知a_n-a_n-1=3•2^2n-1、a_n-1-a_n-2=3•2^2n-3、…、a₂-a₁=3•2³，进而累加计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=na_n=n（2²ⁿ⁺¹-6），利用错位相减法计算可知1•2³+2•2⁵+3•2⁷+…+（n-1）•2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$（3n-1）•2²ⁿ⁺³，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1-a_n=3•2²ⁿ⁺¹，
∴a_n-a_n-1=3•2^2n-1，a_n-1-a_n-2=3•2^2n-3，…，a₂-a₁=3•2³，
累加得：a_n-a₁=3•（2³+2⁵+…+2^2n-1）=3•$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{2（n-1）}）}{1-{2}^{2}}$=2²ⁿ⁺¹-8，
∴a_n=a₁+2²ⁿ⁺¹-8=2²ⁿ⁺¹-6；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=na_n=n（2²ⁿ⁺¹-6），
记数列{n•2²ⁿ⁺¹}的前n项和为T_n，则
T_n=1•2³+2•2⁵+3•2⁷+…+（n-1）•2^2n-1+n•2²ⁿ⁺¹，
4T_n=1•2⁵+2•2⁷+3•2⁹+…+（n-1）•2²ⁿ⁺¹+n•2²ⁿ⁺³，
两式相减得：-3T_n=2³+2⁵+2⁷+2⁹+…+2²ⁿ⁺¹-n•2²ⁿ⁺³，
=$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{2n}）}{1-{2}^{2}}$-n•2²ⁿ⁺³
=-$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{3}$（3n-1）•2²ⁿ⁺³，
∴T_n=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$（3n-1）•2²ⁿ⁺³，
∴数列的前n项和S_n=T_n-6•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{8}{9}$+$\frac{1}{9}$（3n-1）•2²ⁿ⁺³-3n（n+1）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，利用累加法、错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．