Question

若y=ax²+2x+2a-1为[-1，+∞）上的单调增函数，则a的取值范围为

0≤a≤1

．

Answer 1

分析：先讨论a的取值，当a=0时，为一次函数，满足条件．当a≠0时，为二次函数，此时利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．

解答：解：当a=0时，y=f（x）=ax²+2x+2a-1=2x-1，在定义域R上单调递增，满足在区间[-1，+∞）上是增函数，所以a=0成立．
当a≠0时，二次函数f（x）=ax²+2x+2a-1的对称轴为x=-

2

2a

=-

1

a

，
∴要使f（x）=ax²+2x+2a-1为[-1，+∞）上的单调增函数，
则必有a＞0且对称轴-

1

a

≤-1，即a≤1，
此时0＜a≤1，
综上0≤a≤1．
即a的取值范围是[0，1]．
故答案为：[0，1]．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键．注意对a要进行分类讨论．