Question

求证：（1）n≥0，试用分析法证明，

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

，
（2）当a、b、c为正数时，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9．
相等的非零实数．用反证法证明三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．

Answer 1

分析：（1）要证

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

成立，即证

n+2

+

n

＞2

n+1

，即证  (

n+2

+

n

)2＞(2

n+1

)2，即证n+1＞

n2+2n

，即证 （n+1）²＞n²+2n，即证1＞0．
 （2）假设三个方程中都没有两个相异实根，则他们的判别式都小于0，相加可得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0 ①，
由题意a、b、c互不相等，可得①式不能成立，矛盾．

解答：证明：（1）要证

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

成立，即证

n+2

+

n

＞2

n+1

，
即证  (

n+2

+

n

)2＞(2

n+1

)2，即证n+1＞

n2+2n

，即证 （n+1）²＞n²+2n，即n²+2n+1＞n²+2n，
即证1＞0，而1＞0 显然成立，所以原命题成立．
（2）证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则△₁=4b²-4ac≤0，△₂=4c²-4ab≤0，
△₃=4a²-4bc≤0．  相加有  a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≤0，
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0．①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．

点评：本题考查用分析法证明不等式，用反证法证明不等式，用反证法证明不等式时，推出矛盾，是解题的关键．