Question

已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p为大于1的常数），记f(n)=

1+ C 1 n a1+ C 2 n a2+…+ C n n an

2nSn

．
（1）求a_n；
（2）试比较f（n+1）与

p+1

2p

f(n)的大小（n∈N^*）；
（3）求证：(2n-1)f(n)≤f(1)+f(2)+…+f(2n-1)≤

p+1

p-1

[1-(

p+1

2p

)2n-1]，（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由题设中所给的恒成立的等式对任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p为大于1的常数），在此条件下求通项，一般利用a_n=S_n-S_n-1，故可构造出（1-p）S_n+1=p-pa_n+1．两式作差，即可消去和得到项之间的关系化简后再根据其形式判断规律求出通项；
（2）由（1）可得Sn=

p(1-pn)

1-p

=

p(pn-1)

p-1

． 再利用数列{a_n}的通项公式对f（n）的解析式中的分子进行化简，得出f（n）关于n的表达式，分别求出f（n+1），

p+1

2p

f(n)，根据p的取值范围对两者的大小进行比较，两个代数式的大小比较通常先对其形式进行化简，再比较大小；
（3）由（2）知 f(1)=

p+1

2p

，f（n+1）＜

p+1

2p

f(n)，（n∈N^*）．由此递推关系对不等式进行放大，再由同向不等式相加得出f(1)+f(2)+…+f(2n-1)≤

p+1

p-1

[1-(

p+1

2p

)2n-1]，（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1）的证明可用f（k）+f（2n-k）的表达式的研究进行放小证明得出f（k）+f（2n-k）≥2f（n），由同向不等式相加证得结论．

解答：解：（1）∵（1-p）S_n=p-pa_n，①
∴（1-p）S_n+1=p-pa_n+1．②
②-①，得（1-p）a_n+1=-pa_n+1+pa_n，即a_n+1=pa_n．在①中令n=1，可得a₁=p．
∴{a_n}是首项为a₁=p，公比为p的等比数列，a_n=pⁿ．
（2）由（1）可得Sn=

p(1-pn)

1-p

=

p(pn-1)

p-1

．1+C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n=1+pC_n¹+p²C_n²+…+C_nⁿpⁿ=（1+p）ⁿ=（p+1）ⁿ．
∴f(n)=

1+ C 1 n a1+ C 2 n a2+…+ C n n an

2nSn

=

p-1

p

•

(p+1)n

2n(pn-1)

，f（n+1）=

p-1

p

•

(p+1)n+1

2n+1(pn+1-1)

．
而

p+1

2p

f(n)=

p-1

p

•

(p+1)n+1

2n+1(pn+1-p)

，且p＞1，
∴pⁿ⁺¹-1＞pⁿ⁺¹-p＞0，p-1＞0．∴f（n+1）＜

p+1

2p

f(n)，（n∈N^*）．
（3）由（2）知 f(1)=

p+1

2p

，f（n+1）＜

p+1

2p

f(n)，（n∈N^*）．
∴当n≥2时，f(n)＜

p+1

2p

f(n-1)＜(

p+1

2p

)2f(n-2)＜…＜(

p+1

2p

)n-1f(1)=(

p+1

2p

)n．
∴f(1)+f(2)+…+f(2n-1)≤

p+1

2p

+(

p+1

2p

)2+…+(

p+1

2p

)2n-1=

p+1

p-1

[1-(

p+1

2p

)2n-1]，
（当且仅当n=1时取等号）．
另一方面，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，f(k)+f(2n-k)=

p-1

p

[

(p+1)k

2k(pk-1)

+

(p+1)2n-k

22n-k(p2n-k-1)

]≥

p-1

p

•2

(p+1)k 2k(pk-1) • (p+1)2n-k 22n-k(p2n-k-1)

=

p-1

p

•

2(p+1)n

2n

1 (pk-1)(p2n-k-1)

=

p-1

p

•

2(p+1)n

2n

1 p2n-pk-p2n-k+1

．
∵p^k+p^2n-k≥2pⁿ，∴p²ⁿ-p^k-p^2n-k+1≤p²ⁿ-2pⁿ+1=（pⁿ-1）²．
∴f(k)+f(2n-k)≥

p-1

p

•

2(p+1)n

2n(pn-1)

=2f(n)，（当且仅当k=n时取等号）．
∴

2n-1

k=1

f(k)=

1

2

2n-1

k=1

[f(k)+f(2n-k)]≥

2n-1

k=1

f(n)=(2n-1)f(n)．
（当且仅当n=1时取等号）．
综上所述，(2n-1)f(n)≤

2n-1

k=1

f(k)≤

p+1

p-1

[1-(

p+1

2p

)2n-1]，（n∈N^*）．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查了数列递推式的应用，放缩法证明不等式，解题的关键是熟练掌握放缩法的技巧，本题中第二问先研究局部，再综合得到f（n）的通式，再比较大小，第三问中用到了放缩法的技巧，要注意不要放得过大可缩得过小，放缩法证明不等式技巧性很强，需要有有较高的观察能力与判断能力，既要放，又不能放得过了头，谨记