Question

1．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{2x-2，x＞1}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-m有三个零点x₁，x₂，x₃，求x₁x₂x₃的取值范围．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，用m分别表示出x₁，x₂，x₃的值，根据条件表示成关于m的一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：由g（x）=f（x）-m=0得f（x）=m，
设x₁＜x₂＜x₃，
作出函数f（x）的图象，
则当x≤1时，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，抛物线的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
由2x-2=$\frac{1}{4}$得x=$\frac{9}{8}$，
则1＜x₃＜$\frac{9}{8}$，
若函数g（x）=f（x）-m有三个零点，
则0＜m＜$\frac{9}{8}$，
由2x₃-2=m得x₃=$\frac{m+2}{2}$，
由-x²+x=m得x²-x+m=0，
则x₁x₂=m，
则x₁x₂x₃=m•$\frac{m+2}{2}$=$\frac{1}{2}$（m+1）²-$\frac{1}{2}$，
设h（m）=$\frac{1}{2}$（m+1）²-$\frac{1}{2}$，
∵0＜m＜$\frac{9}{8}$，
∴h（0）＜h（x）＜h（$\frac{9}{8}$）
即0＜h（x）＜$\frac{225}{128}$，
即x₁x₂x₃的取值范围是（0，$\frac{225}{128}$）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合先判断m的取值范围，然后用m分别表示出x₁，x₂，x₃，然后利用一元二次函数的性质进行求解是解决本题的关键．