Question

16．已知圆O：x²+y²=4，将圆O上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到曲线C．
（I）写出曲线C的参数方程；
（II）设直线l：x-2y+2=0与曲线C相交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m过线段AB的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求直线m的极坐标方程．

Answer 1

分析 （I）设曲线C上任意一点P（x，y），则点Q（x，2y）在圆O上，代入⊙O的方程即可得出直角坐标方程，进而得到参数方程．
（II）直线方程与椭圆方程联立解出交点坐标，利用中点坐标公式即可得出线段AB的中点N的坐标，设直线l的倾斜角为α，则$tanα=\frac{1}{2}$，利用倍角公式可得tan2α．利用点斜式可得直线m的方程，进而得出极坐标方程．

解答 解：（I）设曲线C上任意一点P（x，y），则点Q（x，2y）在圆O上，
∴${x^2}+{（{2y}）^2}=4，即\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴曲线C的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}（{θ为参数}）}\right.$．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$．
得A（-2，0），B（0，1），∴线段AB的中点N的坐标$（-1，\frac{1}{2}）$，
设直线l的倾斜角为α，则$tanα=\frac{1}{2}$，$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{2×\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{4}}}=\frac{4}{3}$，
∴直线m的方程为：y=$\frac{4}{3}$（x+1）+$\frac{1}{2}$，即8x-6y+11=0，
∴直线m的极坐标方程为：8ρcosθ-6ρsinθ+11=0．

点评 本题考查了坐标变换、椭圆的参数方程、直线与圆相交问题、中点坐标公式、倍角公式、点斜式、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．