Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA1=

3

，∠ABC=

π

3

．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB=1，AC=AA1=

3

，∠ABC=

π

3

．我们易得AB⊥AC，又由直三棱柱的几何特征得AA₁⊥AB，结合线面垂直的判定定理，可得AB⊥平面AA₁C，进而根据线面垂直的性质，即可得到AB⊥A₁C；
（Ⅱ）取A₁C中点D，连AD，BD，由已知易得AD⊥A₁C，结合三垂线定理，我们可得∠BDA为二面角A-A₁C-B的平面角，解三角形BDA，即可求出二面角A-A₁C-B的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=

π

3

∴AB⊥AC，又AA₁⊥AB，则AB⊥平面AA₁C
∵A₁C在平面ABC内的射影为AC，∴AB⊥A₁C              …（6分）
（Ⅱ）取A₁C中点D，连AD，BD∵AA₁=AC=

3

∴AD⊥A₁C，且AD=

6

2

，
由三垂线定理得 BD⊥A₁C
∴∠BDA为二面角A-A₁C-B的平面角．
∴tan∠BDA=

AB

AD

=

6

3

，∴sin∠BDA=

10

5

∴二面角A-A₁C-B的正弦值为

10

5

．                 …（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法，其中（I）的关键，是要根据已知条件及三棱柱的几何特征得到线面垂直的条件，（II）的关键是找出二面角的平面角．