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设F1、F2是离心率为
5
的双曲线
x2
a2
-
y 2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0
(O为坐标原点)且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为(  )
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3
分析:取PF2的中点A,推出
OA
F2P
,由OA 是△PF1F2的中位线,得到PF1⊥PF2,由双曲线的定义求出|PF1|和|PF2|的值,进而在△PF1F2中,由勾股定理得及
c
a
=
5
,解得λ的值.
解答:解:取PF2的中点A,则
OP
+
OF2
=2
OA

(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0
,∴2
OA
F2P
=0,
OA
F2P
,由 OA 是△PF1F2的中位线,
∴PF1⊥PF2,OA=
1
2
PF1. 
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,
∵|PF1|=λ|PF2|,∴|PF2|=
2a
λ-1
,|PF1|=λ•
2a
λ-1

△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4C2
(λ•
2a
λ-1
)
2
+(
2a
λ-1
)
2
=4c2
c
a
=
5
,∴(
1
λ-1
2
•(λ2+1) = 5
,∴λ=2,
故选A.
点评:本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,判断△PF1F2是直角三角形,是解题的关键.
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科目:高中数学 来源:孝感模拟 题型:单选题

设F1、F2是离心率为
5
的双曲线
x2
a2
-
y 2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0
(O为坐标原点)且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为(  )
A.2B.
1
2
C.3D.
1
3

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A.2
B.
C.3
D.

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B.
C.3
D.

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A.2
B.
C.3
D.

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