Question

给出下列结论：
①存在实数x，使得sinx+cosx=

3

2

；
②若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
③函数y=cos（

2x

3

+

7π

2

）是奇函数；其中正确的结论是

 

（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：①利用三角恒等变换可得sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），再利用正弦函数的有界性，可判断①；
②举例说明，α=

13π

6

，β=

π

3

为第一象限角，且α＞β，利用正切函数的三角函数值可判断②；
③利用诱导公式化简y=cos（

2x

3

+

7π

2

）=sin

2x

3

，再利用正弦函数的奇偶性可判断③．

解答： 解：对于①，∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

＜

3

2

，∴不存在实数x，使得sinx+cosx=

3

2

，故①错误；
对于②，∵α=

13π

6

，β=

π

3

为第一象限角，且α＞β，但tan

13π

6

=

3

3

＜

3

=tan

π

3

，故②错误；
对于③，函数y=cos（

2x

3

+

7π

2

）=cos（

3π

2

+

2x

3

）=sin

2x

3

是奇函数，故③正确．
故答案为：③．

点评：本题考查三角函数的性质，考查三角恒等变换、正切函数的单调性与诱导公式及正弦函数的奇偶性，属于中档题．