Question

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-

1

2

（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是Q点M（1，

15

2

），是判断|PM|+|PQ|是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在，请说明理由；
（3）过抛物线焦点FZ作互相垂直的两直线分别交抛物线与A、C、B、D，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

p

2

=

1

2

，由此能求出抛物线方程．
（2）由题意知点M在抛物线的外侧，延长PQ交直线x=-

1

2

于点N，由抛物线定义知|PN|=|PQ|+

1

2

=|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|最小，|PM|+|PF|=|MF|，由此能求出|PM|+|PQ|的最小值．
（3）设过点F的直线方程为y=k（x-

1

2

），由

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，由此利用韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出四边形ABCD面积的最小值．

解答： 解：（1）由题意知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-

1

2

，
∴

p

2

=

1

2

，即p=1，
∴抛物线方程为y²=2x．
（2）由题意知点M在抛物线的外侧，延长PQ交直线x=-

1

2

于点N，
由抛物线定义知|PN|=|PQ|+

1

2

=|PF|，
当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|最小，
此时为|PM|+|PF|=|MF|，
又焦点坐标为F（

1

2

，0），
∴|MF|=

(1- 1 2 )2+( 15 2 )2

=2，
∴|PM|+

1

2

+|PQ|的最小值为2，
∴|PM|+|PQ|的最小值为

3

2

．
（3）设过点F的直线方程为y=k（x-

1

2

），
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，
由韦达定理，得x1+x2=1+

2

k2

，x1x2=

1

4

，
∴|AC|=

1+k2

•

(1+ 2 k2 )2-1

=2+

2

k2

，
同理，|BD|=2+2k²，
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

(2+

2

k2

)(2+2k2)=2（2+k²+

1

k2

）≥8，
当且仅当k2=

1

k2

时，取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查线段和最小值的求法，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．