Question

14．已知函数f（x）=2cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=$\frac{1}{2}$，c=2$\sqrt{3}$，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，对f（x）=2cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用周期计算公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意f（C）=$\frac{1}{2}$，由（1）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），代入可得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，解可得C的值，又由△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，结合正弦定理可得ab=8，①；再结合余弦定理可得a²+b²=20，②；联立两个式子可得a+b=6，又由c的值，计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，f（x）=2cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$
=2cosx-（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
则其周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）根据题意，若f（C）=$\frac{1}{2}$，即sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又由$\frac{π}{6}$＜2C+$\frac{π}{6}$+$\frac{13π}{6}$，则2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
即C=$\frac{π}{3}$，
又由△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，
即S=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{3}$，变形可得ab=8，①
又由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC可得a²+b²-ab=12，
又由①可得：a²+b²=20，②
联立①、②可得：a+b=6，
又由c=2$\sqrt{3}$，故△ABC的周长为6+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数恒等变形的应用，涉及余弦定理、正弦定理的运用，关键是正确进行三角函数恒等变形，化简f（x）=2cosx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$．