Question

已知a≥0,函数f(x)=(x²-2ax)e^x.

(1)当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论.

(2)设f(x)在［-1,1］上是单调函数,求a的取值范围.

Answer 1

分析:(1)最值点应在导数值为0的点或区间的端点处取得,故需求导数为零的点.(2)f(x)在［-1,1］上是单调增函数,需f′(x)在［-1,1］上非负.

解：(1)对函数f(x)求导数,得

f′(x)=(x²-2ax)e^x+(2x-2a)e^x

=［x²+2(1-a)x-2a］e^x.

    令f′(x)=0,得［x²+2(1-a)x-2a］e^x=0,

    从而x²+2(1-a)x-2a=0.

    解得x₁=a-1-,x₂=a-1+,其中x₁＜x₂.

    当x变化时,f′(x)、f(x)的变化如下表:

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f(x)在x=x₁处取到极大值,在x=x₂处取到极小值.

    当a≥0时,x₁＜-1,x₂≥0,f(x)在(x₁,x₂)上为减函数,在(x₂,+∞)上为增函数.

    而当x＜0时,f(x)=x(x-2a)e^x＞0;当x=0时,f(x)=0.所以当x=a-1+时,f(x)取得最小值.

(2)当a≥0时,f(x)在［-1,1］上为单调函数的充要条件是x₂≥1,即a-1+≥1,解得a≥.

    综上,f(x)在［-1,1］上为单调函数的充分必要条件为a≥.

    即a的取值范围是［,+∞).