Question

如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上（但不属于），对上任一点及点，，满足：．直线，分别交直线于，两点．

（1）求曲线弧的方程；

（2）求的最小值（用表示）；

（3）曲线上是否存点，使为正三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

解：（1）由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆，

.  ……………………………………………1分

∴的方程为.  ……………………………………………3分

（注：不写区间“”扣1分）                              

（2）解法1：由（1）知，曲线的方程为，设，

      则有， 即  ……①    ………………………………4分

又，，从而直线的方程为

      AP：；   BP： ……………5分

     令得，的纵坐标分别为

     ；      .

    ∴  ……②     ………………………………………7分

       将①代入②， 得 .

   ∴ .

当且仅当，即时，取等号．

即的最小值是.   ……………………………………………9分

解法2：设，则由三点共线，得 ．．①

同理，由三点共线得： …②   …………………5分

由①×②得：.

由，代入上式，.

即 .   …………………………………………………………7分

，

当且仅当，即时，取等号．

即的最小值是 .  ………………………………………………9分

（3）设，依题设，直线∥轴，若为正三角形，则必有

       ，…………………………………………………10分

从而直线的斜率存在，分别设为、，由（2）的解法1知，

      ；   ， ……………………………11分

     于是有 ， 而，矛盾.………………………13分

∴不存在点Ｐ，使为正三角形． ……………………………………………14分

注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.