Question

（本小题满分12分）已知椭圆C:过点，离心率为，点分别为其左右焦点.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点,且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在圆心在原点的圆，理由祥见解析.

【解析】

试题分析：（1）由离心率为e=，得到一方程，再由椭圆过点，代入方程，再由a，b，c的关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；

（2）按直线斜率不存在和存在分别讨论：当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理可将条件转化为k、b的方程；再由直线与圆相切，得，从而即可求出符合条件的圆的方程；当直线斜率不存在时，前边求得的圆方程也适用，由此即可得到结论．

试题解析：（1）由题意得：，得，因为，得，所以，所以椭圆C方程为. 4分

假设满足条件的圆存在，其方程为：

当直线的斜率存在时，设直线方程为，由得

，令

， 6分

. 8分

因为直线与圆相切，

=

所以存在圆

当直线的斜率不存在时，也适合.

综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意. 12分

考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与圆锥曲线的关系．