Question

17．设函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax．
（1）当a≥1时，证明函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数；
（2）当x∈[0，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数的单调性，由f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a得f′（x）＜0在区间[0，+∞）上恒成立，即可得证．
（2）利用函数与方程的关系将不等式恒成立转化为两个函数值的大小比较，利用数形结合进行求解即可．

解答 证明：（1）∵f（x）=$\sqrt{x^2+1}-ax$，
∴f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a=$\frac{x-a\sqrt{{x}^{2}+1}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
∵a≥1，x∈[0，+∞），
∴$\frac{x-a\sqrt{{x}^{2}+1}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜$\frac{x-a\sqrt{{x}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{（1-a）x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜0，
∴f′（x）＜0在区间[0，+∞）上恒成立，
∴当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调减函数．
（2）当x∈[0，2]时，f（x）≥0恒成立，
即$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≥0，即$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥ax．
设y=g（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，y=ax，
则g（x）的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上支，
当a≤0时，直线y=ax在[0，2]上满足条件$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥ax．
当a＞0时，函数y=ax单调递增，当x=2时，y=2a，此时g（2）=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，
要使$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥ax在[0，2]上恒成立，则2a≤$\sqrt{5}$，即0＜a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
综上a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查函数单调性判断，和不等式恒成立问题，函数单调性的证明方法有定义法和导数法，本题采用导数法证明较好．利用函数与方程的关系转化为两个函数的大小是解决本题的关键．