Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ax，g（x）=（m-2）x²+（m-1）x+1．（其中e=2.718…）
（1）若f（x）在x=ln2处导数为0，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a=e时，存在x₀∈（-1，0）使得f（x₀）=g（x₀），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，由导数为0，求得a，进而得到切线的斜率和切点，即可得到切线的方程；
（2）运用零点存在定理，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ax的导数为f′（x）=-e^-x+a，
则f′（ln2）=-e^-ln2+a=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，
即有f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
切点为（0，1），
即有f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=-$\frac{1}{2}$x+1；
（2）当a=e时，存在x₀∈（-1，0）使得f（x₀）=g（x₀），
即有h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ex-（m-2）x²+（m-1）x+1在（-1，0）有解，
由零点存在定理，可得，h（-1）h（0）＜0，
即为2（4-2m）＜0，
解得m＞2．
则m的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查函数零点存在定理的运用，考查运算能力，属于中档题．