Question

本题12分）
已知函数.
(1)求的定义域；
(2)在函数的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当，b满足什么条件时，在上恒取正值.

Answer 1

(1) (0，＋∞).(2)函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.
(3)当a≥b＋1时， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.

试题分析：（1）由对数函数的真数大于零求解．
（2）当函数在定义域上单调时，则不存在，当函数在定义域上不单调时，则存在，所以要证明函数是否单调，可用定义法，也可用导数法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”则需函数的最小值非负即可，由（2）可知是增函数，所以只要f（1）≥0即可．
解　：(1)由a^x－b^x>0，
得()^x>1，且a>1>b>0，得>1，
所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)任取x₁>x₂>0，a>1>b>0，则ax₁>ax₂>0，bx₁<bx₂，所以ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0，
即lg(a^x1－b^x1)>lg(a^x2－b^x2).  故f(x₁)>f(x₂).
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使直线平行于x轴，        则x₁≠x₂，y₁＝y₂，这与f(x)是增函数矛盾.
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.
(3)因为f(x)是增函数，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1).  这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，
即当a≥b＋1时，   f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.
点评：解决该试题的关键是利用导数的几何意义来表示切线的斜率，同时能利用对数的真数大于零得到定义域进而研究其性质。