Question

3．如图，点E在直角三角形ABC的斜边AB上，四边形CDEF为正方形，已知正方形CDEF的面积等于36．设AF=x，直角三角形ABC的面积S=f（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）表达式；
（Ⅱ）利用函数单调性定义求f（x）的单调区间，并求出f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角形的面积公式计算即可；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义判断即可．

解答 解：（Ⅰ）∵正方形CDEF的面积等于36，
∴$\frac{EF}{CD+BD}$=$\frac{AF}{AF+CF}$=$\frac{6}{6+BD}$=$\frac{x}{6+x}$，
∴BD=$\frac{36}{x}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（6+x）（6+$\frac{36}{x}$）=3x+$\frac{108}{x}$+36；（x＞0）；
（Ⅱ）设x₁＞x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=3x₁+$\frac{108}{{x}_{1}}$-3x₂-$\frac{108}{{x}_{2}}$=3（x₁-x₂）（1-$\frac{36}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
当0＜x₂＜x₁＜6时，1-$\frac{36}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，函数在（0，6）递减，
当6＜x₂＜x₁时，1-$\frac{36}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函数在（0，6）递增，
∴x=6时，f（x）最小，f（x）的最小值是90．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查求函数的解析式问题，是一道中档题．