Question

18．{a_n}为等差数列，每相邻两项a_k，a_k-1分别为方程x²-4k，x+$\frac{2}{{c}_{k}}$=0（k是正整数）的两根．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求c₁+c₂+…+c_n之和；
（2）对于以上的数列{a_n}和{c_n}，整数981是否为数列{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用根与系数的关系得出a_k+a_k-1=4k，列出方程组解出首项和公差，
（2）利用根与系数的关系得出{c_n}的通项公式，使用拆项法求和．
（3）求出{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}的通项公式，观察数列的特点得出结论．

解答 解：（1）∵a_k+a_k-1=4k，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}+{a}_{1}=8}\\{{a}_{3}+{a}_{2}=12}\end{array}\right.$，设{a_n}公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+d=8}\\{2{a}_{1}+3d=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．
（2）∵a_k•a_k-1=$\frac{2}{{c}_{k}}$，∴c_k=$\frac{2}{{a}_{k}{a}_{k-1}}$=$\frac{2}{（2k+1）（2k-1）}$=$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$．
∴c₁+c₂+…+c_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
（3）令b_n=$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{2（2n+1）}{\frac{2}{（2n+1）（2n-1）}}$=（2n+1）²（2n-1）．∴{b_n}是递增数列，
∵b₄=9×9×7=567＜981，b₅=11×11×9=1089＞981，
∴整数981不是数列{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}中的项．

点评 本题考查了数列的通项公式，数列求和，根与系数的关系，属于中档题．