Question

8．已知函数y=f（x-1）是奇函数，且f（2）=1，则f（-4）=（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． -1
• D． -3

Answer 1

分析 先推得函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）中心对称，由此得出恒等式：f（x）+f（-2-x）=0，再令x=2代入即可解出f（-4）．

解答 解：因为函数y=f（x-1）是奇函数，
所以y=f（x-1）的图象点（0，0）中心对称，
而f（x-1）的图象向左平移一个单位，即得f（x）的图象，
所以，y=f（x）的图象关于点（-1，0）中心对称，
因此，对任意的实数x都有，f（x）+f（-2-x）=0，
令x=2代入上式得，f（2）+f（-4）=0，
由于f（2）=1，所以，f（-4）=-1，
故答案为：C．

点评 本题主要考查了抽象函数的图象和性质，涉及奇偶性的应用，函数图象对称中心的性质，属于中档题．