Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有a_n是S_n与n的等差中项．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过2a_n=S_n+n可知当n=1时a₁=1，当n≥2时2a_n=S_n+n与2a_n-1=S_n-1+n-1作差可知a_n+1=2（a_n-1+1），进而计算可得结论；
（2）通过（1）利用分组法求和及错位相减法计算即得结论．

解答 （1）证明：根据题意可知：2a_n=S_n+n，…（2分）
当n=1时，2a₁=a₁+1，a₁=1，…（3分）
当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+n-1，
相减得：2a_n-2a_n-1=S_n-S_n-1+n-（n-1），…（4分）
整理得：a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
由于a₁+1=2≠0，则a_n+1≠0，
所以$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}$=2，（n≥2）…（5分）
所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．…（6分）
因为${a_n}+1={2^n}$，
所以${a_n}={2^n}-1$．…（7分）
（2）解：∵$n{a_n}=n•{2^n}-n$，
∴${T_n}=（1•2+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}）-（1+2+3+…+n）$，…（9分）
令S=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
则2S=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
相减得：-S=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，…（11分）
故 S=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，…（13分）
所以${T_n}=（{n-1}）•{2^{n+1}}+2-\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．…（14分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．