Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）-e^x定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求证：n＞m；
（3）求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足，并确定这样的的个数．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x
=x（x-1）•e^x．…（2分）
由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；
由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值e，…（6分）
又f（-2）=＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即n＞m．…（9分）
（Ⅲ）证：因为，
，即为，
令，
从而问题转化为证明方程=0在（-2，t）上有解，
下面讨论解的个数：…（11分）
因g（-2）=6-，
g（t）=t（t-1）-=，
所以 ①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，…（13分）
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解．…（14分）
③当t=1时，g（x）=x²-x=0，∴x=0，或x=1，所以g（x）=0在（-2，t）上有仅有一解；
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，∴x=-2，或x=3，
所以g（x=0）在（-2，4）上也有且只有一解．…（15分）
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足，
且当t≥4，或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意；
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．…（16分）
分析：（Ⅰ）因为f′（x）=x（x-1）•e^x．由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，知欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，需-2＜t≤0．
（Ⅱ）因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，因为f（-2）=＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），由此能够证明n＞m．
（Ⅲ）因为，所以，令，问题转化为证明方程=0在（-2，t）上有解．由此能够证明对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足，并能确定这样的的个数．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是问题转化为证明方程=0在（-2，t）上有解，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．