Question

已知f(x)=2

3

cos2x+6sinxcosx-

3

(x∈R)，
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及相应的x值的集合；
（Ⅱ）作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象，并指出函数y=f（x）的图象是由函数y=2

3

sin2x的图象经过怎样的变换得到的．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式，辅助角公式，化简函数，利用正弦函数的性质，即可得到结论；
（Ⅱ）列出表格，可得函数f（x）在区间[0，π]上的图象，利用图象变换规律，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2

3

cos2x+6sinxcosx-

3

=

3

cos2x+3sin2x=2

3

sin（2x+

π

6

）
∴当2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，即x=

π

6

+kπ（k∈Z）时，函数取得最大值2

3

（Ⅱ）列出表格，
函数f（x）在区间[0，π]上的图象为

函数y=f（x）的图象是由函数y=2

3

sin2x的图象向左平移

π

12

个单位．

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的图象与变换，属于中档题．