Question

半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB、AC、AD两两互相垂直，则△ABC，△ACD，△ADB面积之和的最大值是

32

．

Answer 1

分析：视AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，长方体的对角线即为球的直径，设它们的长分别为：a，b，c．故a²+b²+c²=64，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．

解答：解：根据题意可知，设AB=a，AC=b，AD=c，
则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．
设它们的长分别为：a，b，c．故a²+b²+c²=64，
而 S△ABC+S△ACD+S△ADB=

1

2

(ab+ac+bc)
≤

a2+b2+a2+c2+b2+c2

4

=

a2+b2+c2

2

=32．
则△ABC，△ACD，△ADB面积之和的最大值是32
故答案为：32．

点评：本题考查了球内接多面体、利用基本不等式求最值问题，考查了同学们综合解决交汇性问题的能力，解答关键是利用构造法求球的直径得到a²+b²+c²=64．