Question

半径为4的球面上有A、B、C、D四个点，且满足

AB

?

AC

=0，

AC

?

AD

=0，

AD

?

AB

=0，则S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB的最大值为（　　）

• A、64
• B、32
• C、16
• D、8

Answer 1

分析：由半径为4的球面上有A、B、C、D四个点，且满足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AD

•

AB

=0，可得AB⊥AC，
AC⊥AD，AD⊥AB，且以AB，AC，AD为邻边的长方体内接于此球．设AB=a，AC=b，AD=c，则a²+b²+c²=（2R）²=64．S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

ac，利用ab+bc+ac≤a²+b²+c²即可得出．

解答：解：∵半径为4的球面上有A、B、C、D四个点，且满足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AD

•

AB

=0，
∴AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，且以AB，AC，AD为邻边的长方体内接于此球．
设AB=a，AC=b，AD=c，则a²+b²+c²=（2R）²=64．
S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

ac=

1

2

(ab+bc+ac)≤

1

2

(a2+b2+c2)=32，
当且仅当a=b=c时，S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB取得最大值32．
故选：32．

点评：本题考查了内接于球的长方体的性质、向量垂直与数量积的关系、不等式ab+bc+ac≤a²+b²+c²、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．