Question

已知f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，1]内有一最大值-5，求a的值．

Answer 1

分析：先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．

解答：解：∵f（x）=-4x²+4ax-4a-a²=-4（x-

a

2

）²-4a，对称轴为x=

a

2

，
当a＜0，f（x）在区间[0，1]上是减函数，
它的最大值为f（0）=-a²-4a=-5，
∴a=-5或a=1（不合题意，舍去），
∴a=-5；
当a=0时，f（x）=-4x²不合题意；
当0＜a＜1时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（

a

2

）=-4a=-5，
∴a=

5

4

（不合题意，舍去），
当a≥1，f（x）在区间[0，1]上是增函数，
它的最大值为f（1）=-4+4a-4a-a²=-5，
∴a=±1，
取a=1；
综上，a的值是a=1，或a=-5．

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，解析式含参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系进行分类讨论，即轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间内，最后归纳得出结论，是易错题．