Question

【题目】已知，函数，（是自然对数的底数）.

（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；

（Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）

【解析】试题分析 ：（1），分，讨论，当时，对，，当时，解得，在上是减函数，在上是增函数。所以，当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）原命题为假命题，则逆否命题为真命题。即不等式在区间内有解。设 ，所以 ，设 ，则，且是增函数，所以 。所以分和k>1讨论。

试题解析：（Ⅰ）因为，所以，

当时，对，，

所以在是减函数，此时函数不存在极值，

所以函数没有极值点；

当时，，令，解得，

若，则，所以在上是减函数，

若，则，所以在上是增函数，

当时，取得极小值为，

函数有且仅有一个极小值点，

所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.

（Ⅱ）命题“，”是假命题，则“，”是真命题，即不等式在区间内有解.

若，则设 ，

所以 ，设 ，

则，且是增函数，所以

当时，，所以在上是增函数，

，即，所以在上是增函数，

所以，即在上恒成立.

当时，因为在是增函数，

因为， ，

所以在上存在唯一零点，

当时，，在上单调递减，

从而，即，所以在上单调递减，

所以当时，，即.

所以不等式在区间内有解

综上所述，实数的取值范围为.