Question

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北方向55海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40

2

海里的位置B，经过80分钟又测得该船已行驶到点A正东方向且与点A相距20海里的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先以点A为原点，正东方向为X轴正半轴建系如图，得出点B，C的坐标，再利用两点距离公式得BC从而求得小船速度即可；
（Ⅱ）欲判断它是否会进入警戒水域，只须比较圆心E到直线BC的距离圆的半径的大小即可．

解答：解：（Ⅰ）以点A为原点，正东方向为X轴正半轴建系如图则：C（20，0），
设B的坐标为（m，n）；
易得m=40

2

×

2

2

=40，n=40

2

×

2

2

=40，
则B的坐标为（40，40），
则BC=

(40-20)2+(40-0)2

=20

5

，
所以，小船速度v=

20 5

4 3

=15

5

（海里/小时）
（Ⅱ）根据题意，B（40，40），C（20，0），
BC直线方程为：2x-y-40=0，
E=（0，-55），E到直线BC的距离为d=

|0-(-55)-40|

5

=3

5

＜7，
故小船会进入警戒水域．

点评：本题是中档题，考查已知三角函数模型的应用问题，注意选择正确的坐标系以及合理的定理解答是解好题目的关键，考查计算能力．