Question

8．设函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若存在x∈R使得f（x）≤a²-2a+1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≤6的解集．
（2）由题意可得 f（x）_min≤a²-2a+1，由绝对值的意义可得 f（x）_min=4，故有4≤a²-2a+1，由此求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1、3对应点的距离之和，
而-2 和4对应点到-1、3对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集为{x|x≤-2，或 x≥4}．
（2）若存在x∈R使得f（x+1）≤a²-2a+1成立，则 f（x）_min≤a²-2a+1，由绝对值的意义可得 f（x）_min=4，
故有4≤a²-2a+1，求得a≤-1，或a≥3．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．