精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

(本小题满分14分)

     已知函数.

(Ⅰ)若函数在定义域内为增函数,求实数的取值范围;

(Ⅱ)当时,试判断的大小关系,并证明你的结论;

(Ⅲ) 当时,证明:.

 

【答案】

(Ⅰ)的取值范围为.(Ⅱ)当时,.

(Ⅲ)见解析.

【解析】(I)求函数.的导数,注意定义域,令导函数大于或等于0,分离参数,令一端配方求出最值即得的范围;(II)由(Ⅰ)可知: 时,(当时,等号成立),令,则两边分别相加整理即得结论;(III)由(2)知,当,令求导可得最小值,所以时,(当且仅当时,等号成立),令,则,所以,,因而可得,所以, 所以,然后不等式累加证明即可.

 

(Ⅰ),函数的定义域为.

.

依题意,恒成立,恒成立.

,∴的取值范围为.   ……………………………………………………… (4分)

(Ⅱ)当时,.

证明:当时,欲证 ,只需证.

由(Ⅰ)可知:取,则

(当时,等号成立).

代换,得,即

.

在上式中分别取,并将同向不等式相加,得.

∴当时,.        ………………………………………… (9分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知时,等号成立).

而当时:,∴ 当时,.

,则

上递减,在上递增,

,即时恒成立.

故当时,(当且仅当时,等号成立).    ……  ①

代换得: (当且仅当时,等号成立).     …… ②

时,由①得.

时,由②得 ,用代换,得.

∴当时,,即.

在上式中分别取,并将同向不等式相加,得.

故当时,.    …………………………………………………(14分)

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•广东模拟)(本小题满分14分 已知函数f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化简f(x)的表达式,并求f(x)的最小正周期;
(II)当x∈[0,
π
2
]  时,求函数f(x)
的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(ab>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设AB是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题

 (本小题满分14分)

某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.

(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;

(Ⅱ)求该商品第7天的利润;

(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.

⑴ 求满足的关系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范围;

⑶ 证明:

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案