Question

四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分别是BC、PE的中点．

(1)求证：AD⊥PE；
(2)求二面角E－AD－G的正切值．

Answer 1

（1）AD⊥PE；（2）.

试题分析：（1）证明线线垂直要通过线面垂直证明，题中所给侧面PAD⊥底面ABCD是面面垂直，通过取AD的中点O，连结OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，而OE⊥AD.，则AD⊥平面OPE.，从而能够证出AD⊥PE..（2）求二面角E－AD－G的正切值可以通过两种方法：①常规方法，作出二面角的平面角，并求出，取OE的中点F，连结FG，OG，则由(1)易知AD⊥OG，又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，再利用三角形中边长关系求出∠GOE的正切值；②空间向量法，建立如图所示的空间直角坐标系，写出已知点的坐标，设平面ADG的法向量为，根据，求出
，而平面EAD的一个法向量为，再根据求出.
试题解析：（1）如图，取AD的中点O，连结OP，OE，∵PA＝PD，∴OP⊥AD，

又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD.
又OP∩OE＝0，∴AD⊥平面OPE.
∵PE?平面OPE，∴AD⊥PE.
（2）解法一：取OE的中点F，连结FG，OG，则由(1)易知AD⊥OG，
又OE⊥AD，∴∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角，
∵PA＝PD，∠APD＝60°，
∴△APD为等边三角形，且边长为2，
∴OP＝×2＝，FG＝OP＝，OF＝CD＝1，
∴OG＝，∴cos∠GOE＝
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，E(0,2,0)，

∴
设平面ADG的法向量为，
由得，
∴.
又平面EAD的一个法向量为，
又因为.