Question

【题目】已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）讨论函数f(x)在区间上的单调性；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象．求在上的值域．

Answer 1

【答案】(1)详见解析（2）

【解析】

（1）首先利用二倍角公式、降次公式以及辅助角公式，将化简为的形式，利用相邻两条对称轴之间的距离得到半周期，从而求得的值.再利用正弦函数的单调性求得函数在区间上的递增和递减区间.（2）根据图像变换得到的表达式，然后利用定义域的范围，利用三角函数值域的求法，来求得的值域.

解：(1)f(x)＝－ ＋1＝sin ＋ ，因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π，即 ＝π，所以ω＝1.

故.

若，则，当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减.所以f(x)在区间单调递增，在区间单调递减．

（2）由（1），将函数的图象向左平移个单位得到， 的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．因此．

因为，所以，当时，取得最大值；当时，取得最小值.

故在上的值域为.