Question

12．已知函数f（x）=x²+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为2，求函数f（x）的图象在（1，f（1））的切线方程；
（2）若函数g（x）=$\frac{2}{x}$+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，由f'（2）=1，求出a，再求函数f（x）的图象在（1，f（1））的切线方程；
（2）由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，即-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立，即a≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上恒成立，求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）$f'（x）=2x+\frac{2a}{x}=\frac{{2{x^2}+2a}}{x}$，由已知f'（2）=2，解得a=-2．…（2分）
∴f（x）=x²-4lnx，$f'（x）=2x-\frac{4}{x}$，
∴f（1）=1，f'（1）=-2…（4分）
∴函数f（x）的图象在（1，f（1））的切线方程为y-1=-2（x-1）即2x+y-3=0．…（6分）
（2）由g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2aln x，得g′（x）=-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$，…（7分）
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立．即a≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上恒成立．…（8分）
令h（x）=$\frac{1}{x}$-x²，在[1，2]上h′（x）=-$\frac{1}{x^2}$-2x=-（$\frac{1}{x^2}$+2x）＜0，
∴h（x）在[1，2]上为减函数，h（x）_min=h（2）=-$\frac{7}{2}$，∴a≤-$\frac{7}{2}$．…（11分）
故实数a的取值范围为{a|a≤-$\frac{7}{2}$}．…（12分）

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确分离参数是关键．