Question

4．数f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定义函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}\right.$，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）-F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）-2有4个零点．其中正确命题的个数为3 个．

Answer 1

分析 ①F（x）=f（|x|），从而判断；
②易知函数F（x）是偶函数；
③由对数函数的单调性及绝对值可判断F（m）-F（n）=-alog₂m+1-（-alog₂n+1）=a（log₂n-log₂m）＜0；
④由函数的零点与方程的根的关系可得|x|=${2}^{\frac{1}{a}}$或|x|=${2}^{-\frac{1}{a}}$；从而判断出函数y=F（x）-2有4个零点．

解答 解：①F（x）=f（|x|），故F（x）=|f（x）|不正确；
②∵F（x）=f（|x|），∴F（-x）=F（x）；
∴函数F（x）是偶函数；
③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，
则F（m）-F（n）=-alog₂m+1-（-alog₂n+1）
=a（log₂n-log₂m）＜0；
④当a＞0时，F（x）=2可化为f（|x|）=2，
即a|log₂|x||+1=2，
即|log₂|x||=$\frac{1}{a}$；
故|x|=${2}^{\frac{1}{a}}$或|x|=${2}^{-\frac{1}{a}}$；
故函数y=F（x）-2有4个零点；
②③④正确；
故答案为：3 个．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及对数函数的性质的应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．