Question

14．如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段图象．
（1）写出函数f（x）的解析式和单调增区间；
（2）若$α∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$，$β∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，且f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{26}}{13}$，f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由图象可知周期为2×（$\frac{5π}{8}-\frac{π}{8}$）=π，由周期公式可求w，由f（$\frac{π}{8}$）=Asin（2×$\frac{π}{8}$+φ）=A，且|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，由f（0）=$\sqrt{2}$=Asin$\frac{π}{4}$解得A，可求函数解析式，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调增区间．
（2）由$α∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$，$β∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，可求范围α+$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），$β-\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），由已知及同角三角函数关系式可求sin（α+$\frac{π}{4}$），cos（α+$\frac{π}{4}$），sin（$β-\frac{π}{4}$），cos（$β-\frac{π}{4}$）的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin（α+β）=sin[（α+$\frac{π}{4}$）+（$β-\frac{π}{4}$）]的值．

解答 解：（1）由图象可知周期为2×（$\frac{5π}{8}-\frac{π}{8}$）=π，故w=$\frac{2π}{π}$=2，
f（$\frac{π}{8}$）=Asin（2×$\frac{π}{8}$+φ）=A，且|φ|＜$\frac{π}{2}$，故φ=$\frac{π}{4}$，
由f（0）=$\sqrt{2}$=Asin（2×0+$\frac{π}{4}$）=A×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：A=2，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调增区间是：[k$π-\frac{3π}{8}$，k$π+\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）∵$α∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$，$β∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴α+$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），$β-\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{26}}{13}$，可得sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$，
f（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{4}$）=2sin（$β-\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，可得sin（$β-\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，cos（$β-\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
∴sin（α+β）=sin[（α+$\frac{π}{4}$）+（$β-\frac{π}{4}$）]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos（$β-\frac{π}{4}$）+cos（α+$\frac{π}{4}$）sin（$β-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{26}}{26}$×$\frac{3\sqrt{13}}{13}$+$\frac{5\sqrt{26}}{26}$×$\frac{2\sqrt{13}}{13}$=$\frac{\sqrt{338}}{26}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．