Question

4．已知函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}-b}$（a、b为实数，且a＞0）是奇函数．
（1）求a与b的值；
（2）解不等式f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）+f（-1）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是奇函数，f（0）=0，f（-1）+f（1）=0，求出a、b的值；
（2）由（1）得f（x）定义域上的减函数，把不等式f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）+f（-1）＞0化为${log}_{\frac{1}{3}}$x＜1，求出解集即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}-b}$是奇函数，
∴f（0）=$\frac{-1+a}{2-b}$=0，
解得a=1；
又f（-1）+f（1）=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1-b}$+$\frac{-2+1}{{2}^{2}-b}$=$\frac{\frac{1}{2}b+1}{（1-b）（4-b）}$=0，
解得b=-2；
（2）由（1）得，f（x）=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$是定义域上的减函数，
∴不等式f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）+f（-1）＞0可化为
f（${log}_{\frac{1}{3}}$x）＞-f（-1）=f（1），
即${log}_{\frac{1}{3}}$x＜1，
解得x＞$\frac{1}{3}$；
∴该不等式的解集为{x|x＞$\frac{1}{3}$}．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，是综合性题目．